Pengin tahu bagaimana sejarah dan teori aslinya ?
Ayo kita belajar bersama!
Sistem bilangan bulat tercipta sebagai perluasan sistem bilangan cacah untuk mendapatkan sistem bilangan yang tertutup terhadap semua operasi hitung. Perluasan tersebut dilakukan dengan mencari bilangan yang tertutup terhadap operasi pengurangan.
Definisi 1 :
Sistem bilangan bulat terdiri atas himpunan B = { …, -2, -1, 0, 1, 2, ….} dengan operasi biner penjumlahan dan perkalian.Untuk a, b, dan c sebarang bilangan bulat, berlaku sifat :
-
Tertutup terhadap operasi penjumlahan. Ada dengan tunggal ( a + b) B
-
Tertutup terhadap operasi perkalian. Ada dengan tunggal ( a x b ) B
-
Sifat komutatif terhadap operasi penjumlahan.a + b = b + a
-
Sifat komutatof terhadap operasi perkalian a x b = b x a
-
Sifat assosiatif terhadap penjumlahan ( a + b ) x c = ( a x c ) + ( b x c )
-
Sifat assosiatif terhadap operasi perkalian ( a x b ) x c = a x ( b x c )
-
Sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
-
Sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan
( a + b ) x c = ( a x c ) + ( b x c )
-
Untuk setiap a, ada tunggal elemen 0 dalam B sehingga a + 0 = 0 + a = a, 0 disebut elemen identitas terhadap bilangan bulat.
-
Untuk setiap a, ada tunggal elemen 1 dalam B sehingga a x 1 = 1 x a = a, 1 disebut elemen identitas terhadap operasi perkalian.
-
OPERASI PENJUMLAHAN PADA BILANGAN BULAT
-
-
Jika a dan b adalah bilangan bulat positif, bagaimana kita menyelesaikan
-
( – a ) + ( -b ) ?
Penyelesaian :
Misalkan c adalah bilangan bulat yang menyatakan ( – a ) + ( -b ), yaitu
c = ( – a ) + ( -b ) maka
c + b = ( – a ) + ( -b ) + b
c + b = ( – a ) + ( ( -b ) + b )
c + b = ( – a ) + 0
( c + b ) + a = ( – a ) + a
( c + b ) + a = 0
c + ( b + a ) = 0
c + ( a + b ) = 0
c +( a + b ) + (- (a + b)) = – ( a +b)
c + (( a + b ) + (- (a + b) ) = – (a + b)
c + 0 = – ( a + b)
c = – ( a + b)
Karena c = ( – a ) + ( -b ) maka ( -a ) + ( – b ) = – ( a + b).
Jadi, jika a dan b bilangan bulat positif, maka ( -a ) + ( – b ) = – ( a + b).
-
-
Jika a dan b bilangan cacah dengan a < b, bagaimana menyelesaikan
-
a + ( – b )
Penyelesaian :
Menurut definisi pengurangan pada bilangan cacah, a + b = c, sama artinya b = c – a,
a + ( – b ) = a + ( – (c – a))
= a +( (- c ) + (- a) )
= a + (- a) + ( -c )
= 0 + ( – c )
= ( – c ) karena c = b – a
Maka a + ( – b )= ( – (b – a ))
= – ( b – a )
-
-
Jika a dan b bilangan cacah dengan b < a, bagaimana menyelesaikan
-
a + ( -b )
Penyelesaian :
Karena b < a maka ada sedemikian sehingga a = b + c. Menurut definisi pengurangan a = b + c , sama artinya a – b = c jika dan hanya jika
b = a – c
a + ( -b ) = b + c + ( – b )
= c + ( b + ( -b ))
= c + 0
a + ( -b ) = c , karena c = a – b
Maka a + ( -b ) = a – b]
-
OPERASI PENGURANGAN PADA BILANGAN BULAT
Definisi :
Jika a, b, dan c adalah bilangan – bilangan bulat, maka a – b = c jika dan hanya jika a = b + c.
Bilangan bulat mempunyai sifat tertutup terhadap operasi pengurangan dan inilah yang menjadikan perluasan dari system bilangan cacah ke bilangan bulat.Kita buktikan bersama bahwa operasi bilangan bulat mempunyai sifat tertutup pada operasi pengurangan.
Untuk membuktikan sifat tertutup ini kita harus membuktikan bahwa setiap pengurangan a, b bilangan bulat terdapat hanya satu bilangan bulat c.
Bukti :
Dari definisi pengurangan didapat untuk setipa a,b bilangan bulat terdapat c bilangan bulat. Jadi telah terbukti ada bilangan bulat lain.
Akan dibuktikan terdapat satu c bilangan bulat.
Andaikan ada bilangan bulat a dengan n c sedemikian sehingga
a = b + n. Karena a = b + c maka b + n = b + c.
b + (-b) + n = b + ( – b ) + c
0 + n = 0 + c
n = c
Pengandaian tidak terbukti, maka n = c,
Jadi terbukti dalam operasi pengurangan bilangan bulat berlaku sifat tertutup.
Wah, belajar matematika itu ternyata susah ya bu. Apa aku sing gak mudheng? Hehehe…….iya kali.
Hihihi, bu kok panjang banget ya? Bu Yuni dapat dari mana? Hehehe kali aja nanti aku bisa nyari inpormasi lain. Makasih ya atas inpormasinya bu…
BU YUni saya kok nggak mudeng sama pengertian Bu YUni saya malah pusing memahami dan membuat contohnya pakek angka sih bu nanti kalau nerangin jangan pakek huruf ya….bu OK!!
kalau bilangan 0 ( nol ) itu termasuk bilangan bulat positif atau bilangan bulat negatif?
Bu Yuni saya jadi bingung nih.Kapan-kapan kalau ngajar yang ngehibur dan nggak bikin jadi nggak mudeng.YA!!!!!!!!!
mana teori bilangan yang lainnya
Ass.
Trims atas kepeduliannya trhdp dunia pendidikan indonesia.
Perkenalkan nama saya agung asal Bandung&dibesarkan dSitubondo dg profesi membantu adik2 kelas saya untk turut serta memajukan pendidikan Indoesia.
Salam Kenal dari kami Pemuda Peduli Bangsa.
Salam balik bwt mas agung.selamat berjuang memcerdaskan generasi islam indonesia..tdk ada kepuasan selalin bs membagikan ilmu yg qt py untk generasi penerus.tp skrg aq da pensiun ne jd guru..klo ada wkt qt sharing disini
teori bil susah2 gampang,im confuse
Assalamu’alaikum
Halo bu..salam kenal. Saya Rahmiyati Maulida, Guru Matematika di MTsN Amlapura Karangasem Bali. Boleh ga bu saya berteman dengan ibu, siapa tau bisa berbagi ilmu dan pengalaman.
Wassalam
waalaikum salam
Aiiii juga. Boleh aja mbak Rahmi. Kita saling berbagi ilmu disini, tapi sekarang saya udah pensiun lho jadi guru. Tapi insyaallah masih ingat seputar pendidikan matematika untuk anak – anak.
SIP!!!!
bisa tidak tampilkan sejarah bilangan itu sendiri, mulai dari zaman Islam dan Yunani?
ass..mksi ats infonya..sy slh stu mahasiswi,keguruan skarng mendapkan tugas dari dosen untuk mengkji bilangan caca dan lambangnya khusus kels 3 SD smester 1,blh minta di ajrin sm ibu tentng pengkajian materi tersbut?
ass..sy mahsiswi dari fakultas keguruan,sekarang mendapatkan tugas dari dosen tentang pengkajian materi tematik tentang bilangan cacah dan lambangnya khusus smester 2 dari kelas 3 SD.klu blh sy minta di ajarin sm ibu.
Usul
bagemana tentang “matematika sebagai bahasa” ?
kalo sebagai bahasa kan lebih mudah diterima anak anak.
Salam Peduli.